Les droites remarquables du triangle : cours, méthodes et exercices

Les droites remarquables d'un triangle : l'essentiel à retenir

Dans un triangle, quatre familles de droites portent le nom de droites remarquables : les médiatrices, les hauteurs, les médianes et les bissectrices. Chaque famille compte trois droites, une par côté ou par sommet. Leur point commun tient en un mot : elles sont concourantes, c'est-à-dire que les trois droites d'une même famille se coupent toujours en un seul et même point, appelé point de concours.

Ce résultat n'a rien d'évident. Tracez trois droites au hasard sur une feuille : elles forment presque toujours un petit triangle entre elles. Avec une droite remarquable dans un triangle, au contraire, la troisième passe exactement par l'intersection des deux premières, quelle que soit la forme de la figure. Cette régularité fait l'intérêt du chapitre et offre un excellent moyen de vérifier une construction.

Pour travailler dans de bonnes conditions, prévoyez le matériel suivant :

• un crayon à papier bien taillé ou un porte-mine, pour des traits fins ;
• une règle graduée et une équerre aux bords intacts ;
• un compas qui garde son écartement sans se desserrer ;
• un rapporteur, utile pour les bissectrices ;
• une gomme douce, réservée aux erreurs : les traits de construction, eux, restent apparents.

Les médiatrices et le centre du cercle circonscrit

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Dans un triangle ABC, on trace la médiatrice de chacun des trois côtés [AB], [BC] et [AC]. Sa propriété clé : tout point de la médiatrice est à égale distance des deux extrémités du segment.

Construire une médiatrice au compas

1. Écartez le compas d'une longueur nettement supérieure à la moitié du segment.
2. Pointez sur une extrémité et tracez un arc de part et d'autre du segment.
3. Sans toucher à l'écartement, recommencez depuis l'autre extrémité.
4. Reliez à la règle les deux points où les arcs se croisent.

Le point de concours O

Les trois médiatrices se coupent en un point souvent noté O. Comme il est à égale distance des trois sommets, il est le centre du cercle circonscrit, le cercle qui passe par A, B et C. Sa position dépend de la forme du triangle : à l'intérieur si les trois angles sont aigus, au milieu de l'hypoténuse si le triangle est rectangle, à l'extérieur si l'un des angles est obtus. Exemple concret : pour installer un point d'eau à égale distance de trois maisons, on cherche le centre du cercle circonscrit au triangle qu'elles forment.

Les hauteurs et l'orthocentre

La hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Le point où elle rencontre ce côté s'appelle le pied de la hauteur. Contrairement à la médiatrice, la hauteur ne passe généralement pas par le milieu du côté : c'est la confusion la plus répandue du chapitre.

Tracer une hauteur à l'équerre

Placez un bord de l'angle droit de l'équerre le long du côté opposé, puis faites glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre bord touche le sommet. Tracez alors le trait du sommet jusqu'au côté. Dans un triangle qui possède un angle obtus, deux des hauteurs tombent en dehors de la figure : il faut prolonger le côté opposé en pointillés avant de poser l'équerre.

Hauteur, aire et orthocentre

La hauteur sert aussi au calcul d'aire, puisque l'aire d'un triangle vaut la base multipliée par la hauteur correspondante, le tout divisé par deux. Pour passer des constructions aux calculs, vous pouvez apprendre à calculer la hauteur d'un triangle selon les données de l'énoncé, un savoir-faire travaillé en 5e puis en 4e. Les trois hauteurs, elles, se coupent en un point noté H, l'orthocentre. Il se trouve à l'intérieur d'un triangle aux angles aigus, sur le sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle, et à l'extérieur d'un triangle obtus.

Les médianes et le centre de gravité

La médiane issue d'un sommet est la droite (ou le segment) qui relie ce sommet au milieu du côté opposé. Aucune équerre n'est nécessaire : il suffit de mesurer le côté à la règle, de placer son milieu, puis de le relier au sommet. Chaque médiane partage le triangle en deux triangles de même aire, une propriété qui surprend souvent quand on l'observe sur une figure très allongée.

Les trois médianes se coupent en un point noté G, le centre de gravité. Il se situe toujours à l'intérieur du triangle, aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Son nom n'a rien d'une image : découpez un triangle dans du carton épais, repérez G, et la forme tiendra en équilibre sur la pointe d'un crayon placée exactement à cet endroit. L'expérience se prépare vite et marque les esprits.

Les bissectrices et le centre du cercle inscrit

La bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Dans un triangle, on trace la bissectrice de chacun des trois angles. Sa propriété fondamentale : tout point de la bissectrice est à égale distance des deux côtés de l'angle.

Deux méthodes de construction

• Au rapporteur : mesurez l'angle, divisez la mesure par deux, puis placez le repère correspondant. Rapide, mais sensible aux erreurs de lecture.
• Au compas : tracez un arc centré sur le sommet qui coupe les deux côtés, puis, depuis ces deux points et avec un même écartement, deux arcs qui se croisent à l'intérieur de l'angle. La droite qui relie le sommet à ce croisement est la bissectrice. Plus précise, cette méthode est à privilégier.

Le point de concours I

Les trois bissectrices se coupent en un point noté I, toujours situé à l'intérieur du triangle. Comme il est à égale distance des trois côtés, il est le centre du cercle inscrit, qui touche chaque côté sans le traverser. Pour tracer ce cercle, une étape est souvent oubliée : abaisser la perpendiculaire de I sur un côté afin d'obtenir le rayon. Prendre la distance de I à un sommet donne un cercle beaucoup trop grand.

Droite remarquable dans un triangle : le tableau récapitulatif

Le tableau ci-dessous rassemble l'essentiel, à recopier comme fiche de révision puis à compléter avec vos propres schémas.

Droite	Définition	Outil principal	Point de concours	À retenir sur ce point
Médiatrice	Perpendiculaire à un côté en son milieu	Compas et règle	O, centre du cercle circonscrit	Même distance des trois sommets
Hauteur	Passe par un sommet, perpendiculaire au côté opposé	Équerre	H, orthocentre	Intérieur, sur un sommet ou extérieur selon les angles
Médiane	Relie un sommet au milieu du côté opposé	Règle graduée	G, centre de gravité	Aux deux tiers de chaque médiane depuis le sommet
Bissectrice	Partage un angle en deux angles égaux	Compas ou rapporteur	I, centre du cercle inscrit	Même distance des trois côtés

Reconnaître une droite à son codage

Dans les exercices, la figure est souvent codée, et c'est le codage qui indique de quelle droite il s'agit :

• angle droit et milieu codés sur un côté : médiatrice ;
• angle droit et passage par le sommet opposé : hauteur ;
• milieu codé et passage par le sommet opposé, sans angle droit : médiane ;
• deux angles codés égaux au même sommet : bissectrice.

Triangle remarquable : quand les droites se confondent

Dans certains triangles particuliers, plusieurs droites remarquables n'en font plus qu'une. Ces situations reviennent très souvent dans les énoncés.

Le triangle isocèle

Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiatrice de [BC], la hauteur issue de A, la médiane issue de A et la bissectrice de l'angle en A forment une seule et même droite : l'axe de symétrie du triangle. Les quatre points de concours se trouvent donc alignés sur cet axe.

Le triangle équilatéral

La propriété précédente vaut ici pour chacun des trois sommets. Les trois axes de symétrie jouent tous les rôles à la fois, et les points O, H, G et I sont confondus au centre du triangle. Le cercle circonscrit et le cercle inscrit partagent alors le même centre.

Le triangle rectangle

Les deux côtés de l'angle droit sont eux-mêmes des hauteurs, si bien que l'orthocentre se place sur le sommet de l'angle droit. Le centre du cercle circonscrit, lui, est le milieu de l'hypoténuse : une propriété qui, avec sa réciproque, sert à démontrer qu'un triangle est rectangle ou à trouver une longueur.

Pour les curieux, un résultat établi par Leonhard Euler au XVIIIe siècle va plus loin : dans tout triangle non équilatéral, les points O, G et H sont alignés sur une même droite, la droite d'Euler.

Exercices et contrôle sur les droites remarquables

Exercices de 5e à imprimer : ce qu'une bonne fiche doit contenir

Les exercices sur les droites remarquables gagnent à être faits sur papier, avec les vrais instruments. Une fiche à imprimer efficace, en PDF de préférence pour que la mise en page reste fixe, propose plusieurs types de tâches :

• des triangles déjà tracés, de formes variées (aux angles aigus, rectangle, obtus), sur lesquels construire chaque famille de droites ;
• des figures codées à identifier, pour s'entraîner à lire le codage ;
• de petits problèmes concrets, comme trouver un point situé à égale distance de trois lieux ;
• des questions de vocabulaire : pied de la hauteur, point de concours, cercle inscrit ou circonscrit.

Au moment d'imprimer, choisissez l'option « taille réelle » plutôt qu'un ajustement à la page : si l'énoncé donne des longueurs, la figure doit les respecter pour que les mesures de vérification aient un sens. En 4e, les fiches peuvent ajouter de courtes démonstrations, par exemple justifier qu'un point appartient à une médiatrice parce qu'il est équidistant des extrémités d'un segment.

Préparer un contrôle sur les droites remarquables du triangle

Un contrôle sur ce chapitre évalue en général trois compétences : connaître les définitions avec précision, réussir les constructions proprement et savoir utiliser les propriétés des points de concours. Une méthode de révision simple donne de bons résultats :

1. Recopiez de mémoire les quatre définitions, puis comparez avec le cours.
2. Refaites chaque construction sur un triangle obtus, le plus piégeux.
3. Tracez systématiquement la troisième droite pour vérifier qu'elle passe par le point obtenu avec les deux premières.
4. Expliquez à voix haute la différence entre médiatrice et hauteur, puis entre médiane et médiatrice.

Les erreurs fréquentes à éviter

• confondre hauteur et médiatrice en faisant passer la hauteur par le milieu du côté ;
• oublier de prolonger le côté quand la hauteur tombe à l'extérieur ;
• modifier l'écartement du compas entre les deux arcs d'une médiatrice ou d'une bissectrice ;
• effacer les traits de construction, alors qu'ils montrent la démarche suivie ;
• prendre pour rayon du cercle inscrit la distance à un sommet au lieu de la distance à un côté.

Avec ces repères, le chapitre devient rassurant : chaque figure se vérifie d'elle-même, et chaque point de concours se résume à une propriété simple.